题目

题型：贵州省模拟题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1 ，直线B₁C与平面ABC成30°角，
（Ⅰ）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角B-B₁C-A的大小；
（Ⅲ）求点A₁到平面B₁AC的距离。

答案

（Ⅰ）证明：由直三棱柱性质知BB₁⊥平面ABC，
∴，
又，
∴AC⊥平面，
又平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥平面， （Ⅱ）解：以A为原点，分别为x，y，z轴，
建立如图的空间直角坐标系A-xyz，
∵直线B₁C与平面ABC成30°角，
∴，则，
则，，
连结A₁B，易知是平面B₁AC的一个法向量，
=（0，1，-1），
设为平面的一个法向量，
则，
又，
∴，
令x=1得，得，
设二面角的大小为θ，
则，
∴二面角的大小为。
（Ⅲ）又，
∴点A₁到平面B₁AC的距离。