题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中点。
（1） 证明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

答案

解：（1）由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又DC₁?平面ACC₁A₁，
∴DC₁⊥BC
由题设知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，
又DC∩BC=C，
∴DC₁⊥平面BDC，
又DC₁?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）设棱锥B-DACC₁的体积为V₁，AC=1，
由题意得V₁=××1×1=，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=1，
（V-V₁）：V₁=1：1，
∴平面BDC₁分此棱柱两部分体积的比为1：1。