题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2

2

，动点D在线段AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）当点D运动到线段AB的中点时，求二面角D-CO-B的大小；
（Ⅲ）当CD与平面AOB所成角最大时，求三棱锥C-OBD的体积．

答案

（Ⅰ）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．（2分）
∵BC=2

2

，∴OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．（4分）
∵OC⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（5分）
（Ⅱ）：由（Ⅰ）知OC⊥平面AOB，
∴OC⊥OB，OC⊥OD，
∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角．（7分）
∵D为AB的中点，∴OD=2，BD=2，
又OB=2，∴∠DOB=60°，
∴二面角D-CO-B的大小为60°．（9分）
（Ⅲ）：∵OC⊥平面AOB，CD交平面AOB于D，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成角．（10分）
tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

，据正切函数的单调性知，当OD最小时，∠CDO最大，
∴取OD⊥AB，OD=

3

为最小值，此时，BD=1．（12分）
∴V_C-OBD=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．
即CD与平面AOB所成角最大时，三棱锥C-OBD的体积为

3

3

．（14分）