题目

题型：0103 期末题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2， PD=，∠PAB=60°。  
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角P-BD-A的大小。

答案

（1）证明：在△PAD中，
由题设，PA=2，AD=2，PD=，
可得PA²+AD²=PD²，
于是AD⊥PA，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
又PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB。

（2）解：过点P作PH⊥AB于H，过H作HE⊥BD于E，
连结PE，
∵AD⊥平面PAB，PH平面PAB，
∴AD⊥PH，
又AD∩AB=A，
∴PH⊥平面ABCD，
故HE为PE在平面ABCD内的射影，
由三垂线定理，可知BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角，
由题设，可得
PH=PA·sin60°=，AH=PA·cos60°=1，
BH=AB-AH=2，BD=，
HE=，
于是在Rt△PHE中，tan∠PEH=，
所以二面角P-BD-A的大小为arctan。