题目

题型：0103 模拟题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE。
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：在Rt△BCE中，，


∴，
∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE，
∴BE⊥平面D′AE，
又∵AD′平面AED′，
∴AD′⊥BE。

（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知，AD′⊥BE，
∵，

又∵AD′平面AED′，
且交线为BD′，
如图，作，垂足为G，
则FG⊥平面ABD′，
连结AG，
则∠FAG就是直线AC与平面ABD′所成的角，
由平面几何的知识可知，
∴，
在Rt△AEF中，，
由可求得，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为。