题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
(Ⅰ)证明：CD⊥AE；
(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值。

答案

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
故PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，AE平面PAC，
∴AE⊥CD。
(Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA，
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD，而PD平面PCD，
∴AE⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
又AD⊥AB，PA∩AD=A，
∴AB⊥面PAD，
∴AB⊥PD，
又AB∩AE=A，
综上得，PD⊥平面ABE。 (Ⅲ)解：由题设PA⊥底面ABCD，PA平面PAD，
则平面PAD⊥平面ACD，交线为AD，
过点C作CF⊥AD，垂足为F，
故CF⊥平面PAD，过点F作FM⊥PD，垂足为M，
连接CM，故CM⊥PD，因此∠CMF是二面角A-PD-C的平面角，
由已知，可得∠CAD=30°，
设AC=a，可得PA=a，，
∵，
∴，
于是，，
在Rt△CMF中，，
故二面角A-PD-C的余弦值为。