题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

如图，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿对角线AC将△ABC折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上，
(Ⅰ)求证：AB⊥平面BCD；
(Ⅱ)求异面直线BC与AD所成的角；
(Ⅲ)求二面角B-AD-C的余弦值。

答案

解：(Ⅰ)在梯形ABCD中，AC=DC=，AD=2，
∴AC²+DC²=AD²，
∴AC⊥DC，
又BO⊥平面ACD，
∴BO⊥AC，
又AB=CB，
∴O为AC中点，
以O为坐标原点，以OA．OB所在直线分别为x，z轴，
以过O且平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴，∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCD。
(Ⅱ)∵，
∴，
∴，即异面直线BC与AD所成的角为60°。
(Ⅲ)平面ACD的法向量，
设平面ABD的法向量为n=（x，y，z），
则，即，解得：，
取z=1，∴n=（1，1，1），
设二面角B-AD-C的平面角为θ，则。