题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．
(Ⅰ)证明：AE⊥平面PBC；
(Ⅱ)若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

答案

(Ⅰ)证明：如图，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，
又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，
而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB，
由题意知BC⊥AB，
又AB是PB在面ABCD内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB，
从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，
因为AE⊥PB，AE⊥BC，
所以AE⊥平面PBC．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，
得AD⊥平面 PAB，故AD⊥AE，
在Rt△PAB中，1，
从而在Rt△DAE中，，
在Rt△CBE中，，
又，
所以△CED为等边三角形，
取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE，
因BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形，
连结BF，则BF⊥CE，
所以∠BFD为所求的二面角的平面角，
连接BD，
在△BFD中，，
所以，，
故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为。