题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上，
(Ⅰ)AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
(Ⅱ)设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。

答案

解：(Ⅰ)因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=，
以B点为原点，BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴
建立如图所示空间直角坐标系，
因为AC=2，∠ABC=90°，所以，
从而，
，
所以，
设AF=x，则，
，
，
所以，
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，
由，得x=1或x=2，
故当AF=1或2时，CF⊥平面B₁DF。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABC的法向量为，
设平面B₁CF的法向量为n=（x，y，z），
则由，得，
令z=1得，
所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
。