题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，
(Ⅰ)求证：D₁C⊥AC₁；
(Ⅱ)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

答案

(Ⅰ)证明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连结C₁D，
∵DC=DD₁， ∴四边形DCC₁D₁是正方形，
∴DC₁⊥D₁C，
又AD⊥DC，AD⊥DD₁，DC∩DD₁=D，
∴AD⊥平面DCC₁D₁，D₁C平面DCC₁D₁，
∴AD⊥D₁C，
∵AD，DC₁平面ADC₁，且AD∩DC₁=D，
∴D₁C⊥平面ADC₁，
又AC₁平面ADC₁，
∴D₁C⊥AC₁． (Ⅱ)解：连结AD₁，连结AE，设AD₁∩A₁D=M，BD∩AE=N，连结MN，
∵平面AD₁E∩平面A₁BD=MN，
要使D₁E∥平面A₁BD，需使MN∥D₁E，
又M是AD₁的中点，
∴N是AE的中点，
又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE，即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D₁E∥平面A₁BD。