题目

题型：0119 期末题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求多面体ADC-A₁B₁C₁的体积；
（3）求二面角D-CB₁-B的平面角的正切值．

答案

（1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵，
∴ AC⊥BC，
又 AC⊥C₁C，，
∴AC⊥平面BCC₁，
∴ AC⊥BC₁。
（2）解：
=20； （3）解：取BC中点E，过D作DF⊥B₁C于F，连接EF，
∵D是AB中点，
∴DE∥AC，
∴DE⊥平面，
又EF平面，
∴DE⊥EF，
∴，
又DE∩DF=D，
∴平面DEF，
∴，
∴∠EFD是二面角的平面角，
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴，
∴，
∴二面角的正切值为。