题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，在平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点。
（1）求证：BD⊥平面CDE；
（2）求证：GH∥平面CDE；
（3）求三棱锥D-CEF的体积。

答案

解：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴ED⊥AD
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BD
又BD⊥CD，且ED∩DC=D，
∴BD⊥平面CDE。
（2）∵G为DF的中点，且易知H是FC的中点，
则在△FCD中，GH∥CD
又∵CD平面CDE，GH平面CDE，
∴GH∥平面CDE。
（3）设在Rt△BCD中，BC边上的高为h，
∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD
∴
∴
∴
即点C到平面DEF的距离为
∴。