题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长都等于2，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，∠ABC=∠A₁AC=60°，点O为底面对角线AC与BD 的交点。
（1）证明：A₁O⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的正切值。

答案

解：（1）由已知AB=BC=2，∠ABC=60°，
则△ABC为正三角形，
所以AC=2
因为点O为AC的中点，
所以AO=1
又AA₁=2，∠A₁AO=60°，
在△A₁OA中，由余弦定理，得

所以
所以A₁O⊥AC
因为平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，其交线为AC，
所以A₁O⊥平面ABCD。（2）因为底面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC
又BD⊥A₁O，
∴BD⊥平面A₁ACC₁
如图，过点O作OE⊥AA₁，垂足为E，
连接DE，则AA₁⊥DE，
所以∠DEO为二面角D-AA₁-C的平面角，
在Rt△AOD中，
在Rt△AEO中，
在Rt△DOE中，
故二面角D-AA₁-C的平面角的正切值为2。