题目

题型：江西省模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点，
(1)求证：EF⊥平面PCD；
(2)求平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值．

答案

(1)证明：取AD中点为O，连接PO，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
故以OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示)，
设AD=2a，则A(a，0，0)，D(-a，0，0)，B(a，2a，0)，
C(-a，2a，0)，，
故可求得：E(a，a，0)，，
∴，
∵
，
∴EF⊥DP，EF⊥DC，
∴EF⊥平面PCD。
(2)解：设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，
则，
取，
为平面PCD的一个法向量，
故，
故平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为。