题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2。
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离。

答案

解：（1）证明：连结OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC
∵
∴AB⊥平面BCD。
（2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在△OME中，
∵是直角△AOC斜边AC上的中线
∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为。（3）设点E到平面ACD的距离为h
∵=
∴·S_△ACD=·AO·S_△CDE
在△ACD中，CA=CD=2，AD=
∴S_△ACD=
而AO=1，S_△CDE=
∴h=
∴点E到平面ACD的距离为。