题目

题型：北京会考题难度：来源：

如图，三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，AB=AC，D是BC的中点。
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁AD；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，BC=A₁D=4，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积。

答案

解：（Ⅰ）证明：因为A₁A⊥底面ABC，且BC底面ABC，
所以A₁A⊥BC，
因为AB=AC，D是BC的中点，
所以AD⊥ BC，
因为A₁A∩AD=A，
所以BC⊥平面A₁AD；
（Ⅱ）因为∠BAC=90°，D是BC的中点，BC=4，
所以，
所以S_△ABC=，
因为A₁A⊥底面ABC，且AD底面ABC，
所以A₁A⊥AD，
在Rt△A₁AD中，A₁D=4，
所以，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，
。