题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD。
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC。

答案

证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，
则由BC=CD知，CO⊥BD，
又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，
所以BD⊥平面OCE
所以BD⊥OE，
即OE是BD的垂直平分线，
所以BE=DE。
（II）取AB中点N，连接MN，DN，
∵M是AE的中点，
∴MN∥BE，
又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BDN=30°，
又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，
BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，
又MN∩DN=N，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC。