题目
题型:河南省期末题难度:来源:
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求证:OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.
答案
∵AB⊥AD,AB=AD,AB∥DC,
∴四边形ABFD为正方形.
∵O为BD的中点,
∴O为AF,BD的交点,
∵PD=PB=2,∴PO⊥BD,
∵=,∴=,,
在三角形PAO中,PO2+AO2=PA2=4,
∴PO⊥AO,
∵AO∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PO⊥平面ABCD,
又AB⊥AD,所以过O分别做AD,AB的平行线,以它们做x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,如图所示:
由已知得:A(﹣1,﹣1,0),B(﹣1,1,0),D(1,﹣1,0)F(1,1,0),C(1,3,0), ,.
则,,
,.
∴,
∴OE∥PF,
∵OE平面PDC,PF平面PDC,
∴OE∥平面PDC.
(Ⅲ) 设平面PDC的法向量为,直线CB与平面PDC所成角θ,
则,即,
解得,
令z1=1,则平面PDC的一个法向量为,
又,,
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为.
核心考点
试题【如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点. (Ⅰ)】;主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
①BD∥平面CB1D1;
②AC1∥平面CB1D1;
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;
④二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值是;
⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条.
PD⊥底面ABCD.
(I)证明:PA⊥BD
(II)设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高.
(Ⅰ)证明:AC⊥平面POD;
(Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值.
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