题目

题型：江苏同步题难度：来源：

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC， E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

答案

证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，
故CD⊥平面PAC．
又AE平面PAC，
∴CD⊥AE．
（Ⅱ）由题意：AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
从而AB⊥PD．
又AB=BC，且∠ABC=60°，
∴AC=AB，
从而AC=PA．又E为PC之中点，
∴AE⊥PC．
由（Ⅰ）知：AE⊥CD，
∴AE⊥平面PCD，
从而AE⊥PD．
又AB∩AE=A，
故PD⊥平面ABE．