题目

题型：江苏同步题难度：来源：

如图所示，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

答案

解：（1）证明：连接AB₁与A₁B相交于M，
则M为A₁B的中点，
连接MD，又D为AC的中点，
∴B₁C∥MD，
又B₁C平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）∵AB=BB₁，
∴四边形ABB₁A₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
又∵AC₁面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥面AB₁C₁，
∴AB₁⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
（3）当点E为CC₁的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE，
∵D、E分别为AC、CC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面AB₁D，
∴DE⊥平面AB₁D，
又DE平面BDE，
∴平面AB₁D⊥平面BDE．