题目

题型：新疆维吾尔自治区期末题难度：来源：

如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．

答案

（1）证明∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，
∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD平面PAD，
∴AB⊥PD．
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线．
∴EF∥BC， ，
∵AD∥BC， ，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四边形EFDA是平行四边形，
∴AE∥DF．
∵AE平面PCD，DF平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
∴平面AEF∥平面PCD．
∵AE平面AEF，
∴AE∥平面PCD．
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．