题目

题型：期末题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形， 且2AA₁=AB，D、E、F分别是B₁C₁，A₁B，
A₁C的中点。
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C；
（3）求直线A₁D与平面A₁BC所成的角。

答案

（1）证明：因为E，F分别是A₁B，A₁C的中点，
所以EF∥BC，
又EF平面ABC，BC平面ABC，
∴EF∥平面ABC。
（2）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
又AD₁平面A₁B₁C₁，
所以BB₁⊥AD₁，
又△A₁B₁C₁为等边三角形，D是B₁C₁的中点，
∴A₁D⊥B₁C₁，
又B₁C₁∩BB₁=B₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C，
又A₁D平面A₁FD，
∴平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C。（3）解：取M为BC的中点，连结DM，A₁M，
易知，
∴，

∴BC⊥平面A₁DM，
又BC平面A₁BC，
∴平面A₁DM⊥平面A₁BC，
∴，

∴
又，
∴，。