题目

题型：0111 期中题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点。
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD。

答案

证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，
在△CPA中，EF∥PA，
且PA平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD。
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA，
又PA=PD= AD，
所以△PAD是等腰直角三角形， 且，即PA⊥PD，
又CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，
又PA平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PDC。