题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，已知在直三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB= AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点。
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的余弦值。

答案

解：（1）如图，连接A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP，
由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，
可得A₁E=EP
∵D，E分别是A₁B，A₁P的中点，
∴DE∥BP，
又∵BP平面ABC，DE平面ABC，
∴DE∥平面ABC。（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°
F为BC的中点，
∴BC⊥ AF，
又∵B₁B⊥平面ABC，
由三垂线定理可得B₁F⊥AF
设AB=AA₁=2，则B₁F=，EF=，B₁E=3，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥EF，
∵AF∩EF=F，
∴B₁F⊥平面AEF；（3）如图过F作FM⊥AE于点M，连接B₁M
∵B₁F⊥平面AEF，由三垂线定理可得 B₁M⊥AE，
∴∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角
又C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可得EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求得
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°
∴
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为。