题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，
(1)若F为AA₁的中点，求证：EF∥平面DD₁C₁C；
(2)若F为AA₁的中点，求二面角A-EC-D₁的余弦值；
(3)若F在AA₁上运动(F与A，A₁不重合)，求当半平面D₁EF与半平面ADE成的角时，线段A₁F与FA的比。

答案

解：(1)如图①，连接A₁B，
因为E为AB的中点，F为AA₁的中点，
所以EF∥A₁B，
又A₁B∥D₁C，
所以EF∥D₁C，
因为EF平面DD₁C₁C，D₁C平面DD₁C₁C，
所以EF∥平面DD₁C₁C。 (2)设二面角A-EC-D₁的大小为θ，
设正方体的棱长为2，由(1)知F，D₁，C，E四点共面，
且四边形EFD₁C为等腰梯形，
又，
所以，
所以二面角A-EC-D₁的余弦值为。 (3)建立如图②所示的坐标系，设正方体的棱长为2，AF=x(0＜x＜2)，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，1，0)，D₁(0，0，2)，F(2，0，x)，
因为DD₁⊥平面ADE，
所以取为平面ADE的法向量，
设平面D₁EF的法向量为n=(x₁，y₁，z₁)，
因为(0，-1，x)，
所以，
取z₁=2，则n=(2-x，2x，2)，
因为半平面D₁EF与半平面ADE成的角，
所以，，
解得，即，
所以线段A₁F与FA的比为。