题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=CC₁，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC．

答案

证明：（1）连接AB₁，则点M是AB₁的中点，又点N是B₁C₁的中点，
则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁，
根据线面平行的判定得：
MN∥平面ACC₁A₁；
（2）由BC⊥AC，BC⊥CC1₁，则BC⊥平面ACC₁A₁，
连接AC₁，则BC⊥AC₁．
∵侧面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC₁⊥平面A₁BC，
又因为MN∥AC₁，
根据线面垂直的性质定理得：
MN⊥平面A₁BC；