题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:CM∥平面PAB;
(Ⅱ)求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值.
答案
解法一:(Ⅰ)证明:取PA的中点N,连接BN、NM,在△PAD中,MN∥AD,且MN=
1 |
2 |
又BC∥AD,且BC=
1 |
2 |
|
又CM⊄平面PAB,BN⊂平面PAB,故CM∥平面PAB.…(5分)
(Ⅱ)在平面ABCD中,AB与CD不平行,延长AB、CD交于一点,设为E,
连接PE,则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱,又由题设可知DA⊥侧面PAB,于是过A作AF⊥PE于F,
连接DF,由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角.…(8分)
在△EAD中,由BC∥AD,BC=
1 |
2 |
在Rt△PAE中,PA=1,AE=2,∴PE=
5 |
2 | ||
|
2 | ||||
|
5 |
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为
5 |
解法二:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角
坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).…(2分)
(Ⅰ)由M为PD中点知M的坐标为(0,1,1),所以
CM |
又平面PAB的法向量可取为
m |
CM |
m |
CM |
m |
又CM⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.…(6分)
(Ⅱ)设平面PCD的法向量为
n |
∵
PC |
PD |
|
不妨取z1=2,则y1=1,x1=1.∴
n |
又平面PAB的法向量为
m |
设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为θ,
则由
m |
n |
| ||||
|
|
1 | ||
|
| ||
6 |
∵θ∈(0,π),∴sinθ=
| ||
6 |
5 |
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为
5 |
核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,∠BAD=90°,BC∥AD,且PA=AB=BC=1,AD=2.(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:】;主要考察你对线线、线面平行等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若M为AB中点,求证:BB1∥平面EFM;
(2)求证:EF⊥BC;
(3)求二面角A1-B1D-C1的大小.
①若l⊥α,l∥β,则α⊥β;
②若l∥β,α⊥β,则l⊥α;
③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.
其中正确的命题是( )
A.①③ | B.①② | C.②③ | D.①②③ |
求证:MN∥平面PAD.
(1)直线A1F∥平面ADE
(2)AD⊥平面BCC1B1.
A.0 | B.1条 | C.2条 | D.3条 |
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