题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN。

（1）证明：AC⊥NB；
（2）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

答案

解：（1）由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MN∩l₁=M，
可得l₂⊥平面ABN
由已知MN⊥l₁，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB
又AN为AC在平面ABN内的射影
∴AC⊥NB。（2）∵Rt△CNA≌Rt△CNB
∴AC=BC，
又已知∠ACB =60°，
因此△ABC为正三角形
∵Rt△ANB≌Rt△CNB
∴NC=NA=NB，
因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，
在Rt△NHB中，。