题目

题型：北京难度：来源：

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=

3 3

2

，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C₁-ABB₁的体积．

答案

（1）∵CB∥C₁B₁，且BD=BC=B₁C₁，
∴四边形BDB₁C₁是平行四边形，可得BC₁∥DB₁．
又B₁D⊂平面AB₁D，BC₁⊄平面AB₁D，


∴直线BC₁∥平面AB₁D
（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB₁
∵BB₁⊥平面ABD，∴BE是B₁E在平面ABD内的射影
结合BE⊥AD，可得B₁E⊥AD，
∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角．
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=

1

2

AC=

3

2

．
在Rt△BB₁E中，tan∠B₁BE=

B1B

BE

=

3 2 3

3 2

=

3

∴∠B₁EB=60°，即二面角B₁-AD-B的大小为60°
（3）过A作AF⊥BC于F，
∵BB₁⊥平面ABC，BB₁⊂平面BB₁C₁C
∴平面BB₁C₁C⊥平面ABC
∵AF⊥BC，平面BB₁C₁C∩平面ABC=BC
∴AF⊥平面BB₁C₁C，即AF为点A到平面BB₁C₁C的距离．
∵正三角形ABC中，AF=

3

2

×3=

3 3

2

，
∴三棱锥C₁-ABB₁的体积V_C1-ABB1=V_A-C1BB1=

1

3

×

9 3

4

×

3 3

2

=

27

8

．