题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共14分）
如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP;
（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.

答案

（1）、（2）见解析；（3）.

解析

（18）解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，
∵F,O分别为BP，PC的中点，
∴∥BC，且,
又ABCD为平行四边形,∥BC，且,
∴∥ED，且
∴四边形EFOD是平行四边形          --------------------------------2分
即EF∥DO  又EF平面PDC  
∴EF∥平面PDC．           ------------------------------------------- 4分
（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，
又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD,                      --------------------------------- 6分
∵BE平面ABCD，
∴BE⊥DP                             -------------------------------- 8分
（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，
所以三棱锥与三棱锥体积相等，
即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4
又∠CDP＝120°PC=2，
由余弦定理并整理得, 解得DC=2   ------------------- 10分
∴三棱锥的体积
∴该五面体的体积为                         -------------------- 12分