题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
已知三棱锥，平面，，，.

（Ⅰ）把△（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

答案

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

解析

本试题主要是考查了几何体体积的求解，以及二面角的求解的综合运用。
（1）由于由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5，根据圆锥的体积公式可知结论。
（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标，和向量的坐标和求解平面的法向量，利用向量的数量积性质，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。
解：（Ⅰ）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为，高为．         
该圆锥的体积．             ………………5分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标，，，．于是，．………………7分
由平面，得平面的一个法向量．……8分
设是平面的一个法向量．
因为，，所以，，
即，，解得，，取，得．…10分
设与的夹角为，则．  ………12分
结合图可判别二面角是个锐角，它的余弦值为．  ………………13分