题目

题型：不详难度：来源：

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁＝60°，AB⊥B₁C.
(1)求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
(2)若AB＝2，求三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积．

答案

（1）见解析   （2）2

解析

(1)由侧面AA₁B₁B为正方形，知AB⊥BB₁.
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C＝B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB⊂平面AA₁B₁B，所以平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C.
(2)由题意，CB＝CB₁，设O是BB₁的中点，连接CO，则CO⊥BB₁.

由(1)知，CO⊥平面AA₁B₁B，且CO＝BC＝AB＝.
连结AB₁，则VC—ABB₁＝S△ABB₁·CO＝AB²·CO＝.
因为VB₁—ABC＝VC—ABB₁＝VABC—A₁B₁C₁＝，
故三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积VABC—A₁B₁C₁＝2.