题目

题型：不详难度：来源：

将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是______．
①EF∥AB；②EF⊥BD；③EF有最大值，无最小值；④当四面体ABCD的体积最大时，AC=

6

； ⑤AC垂直于截面BDE．

答案

如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故①不正确．
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，故②正确．
EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=

3

，斜边AC的长度不定，
故 EF无最大值，也无最小值，故③不正确．
当四面体ABCD的体积最大时，因为等边△ABD的面积为定值，故面SBD⊥面ABD，CF为四面体的高，AC=

CF2+FA2

=

3+3

=

6

，故④正确．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．
综上，②④⑤正确，
故答案为 ②④⑤．