题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:C1M⊥平面A1ABB1;
(2)求证:A1B⊥AM;
(3)求证:平面AMC1∥平面NB1C;
(4)求A1B与B1C所成的角.
答案
解析
又∵C1M平面A1B1C1,∴AA1⊥MC1.
又∵C1A1=C1B1,M为A1B1中点,∴C1M⊥A1B1.
又A1B1∩A1A=A1,∴C1M⊥平面AA1B1B.
方法二 由直棱柱性质得:平面AA1B1B⊥平面A1B1C1,交线为A1B1,又∵C1A1=C1B1,M为A1B1的中点,
∴C1M⊥A1B1于M.
由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B.
(2) 由(1)知C1M⊥平面A1ABB1,
∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.
∵AC1⊥A1B,MC1⊥A1B,MC1∩AC1=C1,
∴A1B⊥平面AMC1,又AM平面AMC1,∴A1B⊥AM.
(3)方法一 由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形,
M、N分别是A1B1、AB的中点,
∴ANB1M.
∴四边形AMB1N是平行四边形.
∴AM∥B1N.
连接MN,在矩形AA1B1B中有
A1B1AB.
∴MB1 BN,∴四边形BB1MN是平行四边形.
∴BB1 MN.又由BB1 CC1,知MN CC1.
∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1MCN.
又C1M∩AM=M,CN∩NB1=N,
∴平面AMC1∥平面NB1C.
方法二 由(1)知C1M⊥平面AA1B1B,
A1B平面AA1B1B,∴C1M⊥A1B.
又∵A1B⊥AC1,而AC1∩C1M=C1,
∴A1B⊥平面AMC1.
同理可证,A1B⊥平面B1NC.
∴平面AMC1∥平面B1NC.
(4) 方法一 由(2)知A1B⊥AM,
又由已知A1B⊥AC1,AM∩AC1=A,
∴A1B⊥平面AMC1.
又∵平面AMC1∥平面NB1C,
∴A1B⊥平面NB1C.
又B1C平面NB1C,∴A1B⊥B1C.
∴A1B与B1C所成的角为90°.
方法二 由直棱柱的性质有平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,又CA=CB=C1A1,N为AB的中点,
∴CN⊥AB.
∴CN⊥平面AA1B1B.
∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1.
又由(2)知A1B⊥AM,由(3)知B1N∥AM,
∴A1B⊥B1N,CN⊥A1B,
∴A1B⊥平面B1NC,又B1C平面B1NC,∴A1B⊥B1C.
∴A1B与B1C所成的角为90°.
核心考点
试题【 如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M、N分别是A1B1、AB的中点.(1)求证:C1M⊥平面A1ABB1;(2)求】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
求图中三角形(正四面体的截面)的面积.
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