题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分12分)如图, 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为6, 动点M在棱A₁B₁上. (1) 当M为A₁B₁的中点时, 求CM与平面DC₁所成角的正弦值;

(2) 当A₁M＝A₁B₁时, 求点C到平面D₁DM的距离.

答案

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

解析

(1)  在平面A₁C₁内过点M作MN∥B₁C₁, 交D₁C₁于N,
则MN⊥平面DC₁, 连NC.
则∠MCN为CM与平面DC₁所成角　…………6分
∵MN=B₁C₁="6," MC==9
∴sin∠MCN==, 即所求正弦值为.……8分
(2) 连C₁M, 作C₁H⊥D₁M于点H, ∵DD₁⊥平面A₁C₁ ∴D₁D⊥C₁H
∴C₁H⊥平面D₁DM, C₁H为C₁到平面D₁DM的距离
又CC₁∥D₁D，D₁D平面D₁DM，∴CC₁∥面D₁DM，则C到平面D₁DM的距离为C₁H
∵C₁H·D₁M=S_△="18," 而D₁M==
∴C₁H= ∴C到平面D₁DM的距离为…………………………………………12分