题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。
（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；
（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判断V_估与V的大小关系，并加以证明。
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

答案

解析

（Ⅰ）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G。
如图所示：∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，
∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.
∴∠B₁PG为所求二面角的平面角.过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形。
∴PG=（b－d），又B₁G=h，∴tanB₁PG=（b＞d），
∴∠B₁PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.
（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，
又CD是面ABCD与面CDEF的交线，
∴AB∥面CDEF。
∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，
∴AB∥EF。
∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，
∴EF∥面ABCD。
（Ⅲ）V_估＜V。
证明：∵a＞c，b＞d，
∴V－V_估=
=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］
=（a－c）（b－d）＞0。
∴V_估＜V。