题目

题型：不详难度：来源：

在三棱锥中，,.
(1)  求三棱锥的体积；
(2)  证明:;
(3)  求异面直线SB和AC所成角的余弦值。

答案

（1）
（2）见解析
(3)

解析

∵
∴且,
∴平面------------ ----------------2分
在中， ,
中，
∵,
∴.--------------4分
(2)证法1：由（1）知SA="2," 在中，---6分
∵,∴-------------------8分
证法2：由（1）知平面，∵面，
∴,∵,,∴面
又∵面，∴
(3) 解法1：分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F，
连结ED、DF、EF、AF，则,
∴（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角----------10分
∵
在中，
∴,
在中，
在△DEF中，由余弦定理得
∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为-------------------------14分
解法2：以点A为坐标原点，AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图
则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B
∴
设异面直线SB和AC所成的角为
则
∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为。