题目

题型：不详难度：来源：

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；

(1)画出直线l；
(2)设l∩A₁B₁=P,求PB₁的长；
(3)求D到l的距离.

答案

（1）见解析 （2）PB₁=a  (3)

解析

(1)连结DM并延长交D₁A₁的延长线于Q.连结NQ，则NQ即为所求的直线l.
(2)设QN∩A₁B₁=P,△A₁MQ≌△MAD,∴A₁Q=AD=A₁D₁,A₁是QD₁的中点.
∴A₁P=D₁N=.∴PB₁=a.
(3)作D₁H⊥l于H，连结DH，可证明l⊥平面DD₁H，则DH⊥l,则DH的长就是D到l的距离.
在Rt△QD₁N中，两直角边D₁N=,D₁Q=2a,斜边QN=,∴D₁H·QN=D₁N·D₁Q,即D₁H=,DH=,∴D₁到l的距离为.