题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）
如图（20）图，为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，求：
（Ⅰ）点B到平面的距离;
（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.

答案

（Ⅰ）
（Ⅱ）arcsin

解析

本题主要考查立体几何中的主干知识，如线线角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识，本题属中等题。
（1）过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.
由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.
因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=，BD=BB′·sinBB′D=.
（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.
在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，
BC=.
因BD平面，且DCCA，由三垂线定理知ACBC.
故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.
因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin