题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在六面体ABC-DEFG中，平面∥平面，⊥平面，,,∥．且,．

（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的余弦值.

答案

（1）略（2）

解析

则，
令，则，
而平面ADGC的法向量
      ∴＝
故二面角D-CG-F的余弦值为．……………………12分
解法二设DG的中点为M，连接AM、FM，
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
所以MF//DE，且MF＝DE
又∵AB//DE，且AB＝DE  ∴MF//AB，且MF＝AB
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，
又BF平面ACGD
故 BF//平面ACGD……………6分
（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）
（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG
即DE⊥面ADGC ，
∵MF//DE，且MF＝DE ， ∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则
显然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1
∴，∴MN＝
在直角三角形MNF中，MF＝2，MN
∴＝＝＝，＝
故二面角D-CG-F的余弦值为 ……………………12分