题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分13分)
如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=，AD=，EF=2.
（Ⅰ）求证： AE∥平面DCF；
（Ⅱ）若，且二面角A—EF—C的大小为，求的长。

答案

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC ．  ……    1分
又∵ BE∥CF ， AB∩BE=B，
∴平面ABE∥平面DCF ……   3分
又AE平面ABE，
∴AE∥平面DCF………   5分
（II）过E作GE⊥CF交CF于G，

由已知  EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=AD＝，又EF=2，∴GF=1…6分
∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC ．
∵∠BCF=，　∴FC⊥BC，
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，
∴FC⊥平面AC ，∴FC⊥CD ．                   …………7分
分别以CB、CD、CF为轴建立空间直角坐标系．
∵BE=1，，∴ A（，，0）,E(，0，1),F(0，0，2)，
∴=(0，- ，1)，=（-,0,1）．   …………8分
设平面AEF的法向量=(x，y，z)，
得，∴="(" ，， )．   ……10分
又=（0，，0）是平面CEF的一个法向量,
∴    ,即，得=．
∴当的值为时，二面角A—EF—C的大小为   …13分