题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，
∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=，E为SD的中点。
(1)若F为底面BC边上的一点，且BF=，求证：EF∥平面SAB；
(2)底面BC边上是否存在一点G，使得二面角S-DG-A的正切值为？
若存在，求出G点位置；若不存在，说明理由。

答案

（1）略
（2）存在点G与B重合或BG=满足题设。

解析

解：方法一：(1)取SA的中点H，连结EH，BH。由HE∥AD，BF∥AD，且HE=。∴EF∥BH，BF=HE，∴四边形EFBH为平行四边形。∴EF∥BH，BH∴EF∥平面SAB。………6分
(2)假设存在点G，满足题设条件，过A作AI⊥DG于I，由三垂线定理得SI⊥DG，并设二面角S-DG-A的大小为α.则tanα=，∴AI=，又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°，若∠ADG=45°，则G与B点重合；若∠ADG=135°，则BG=AD+AB=2，故存在点G与B重合或BG=满足题设。………12分
方法二：以A点为原点建立空间坐标系，设存在G点，G(x，1,0)，，，设，为平面AGD的法向量，=(0,0,1)，∵tanθ=，∴cosθ=，又∵cosθ=，∴x=0或2，故存在点G与B重合或BG=BC，满足题设。………12分