题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥中底面
点，分别在棱上，且 
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

答案

（Ⅰ）略
（Ⅱ）与平面所成的角的大小
（Ⅲ）存在点E使得二面角是直二面角.

解析

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.       ……………4分
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，……………6分
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小        ……………8分.
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，        ……………10分
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.    ……………12分
【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得
.……………2分
（Ⅰ）∵，
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.     ……………4分
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，               ……………6分
∵，∴.
∴与平面所成的角的大小……………8分
（Ⅲ）解法同一 （略）