题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA=4
（1）证明：若F是棱PB的中点，求证：EF//平面PAD；
（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。

答案

（1）略（2）

解析

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，E是CD的中点
∴BE⊥AB，
又PA⊥底面ABCD，
∴BE⊥PA
∴BE⊥平面PAB
∴BE平面PBE
∴平面PBE⊥平面PAB
（2）设PA的中点为M，连接EF、FM、MD
则MF//AB、DE//AB，
∴DE//FM、DE=FM
∴四边形EFMD是平面四边形，
∴EF//DM
又EF平面PAD，DM平面PAD
∴EF//平面PAD
（3）延长BE交AD的延长线于G，则PG是平面PAD和平面PBE的交线过点A作AH⊥OB、AN⊥PG，
∵AH⊥平面PAB，
∴∠ANH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角
在Rt△PAB中，PA=4、AB=2
∴
∵E是DC的中点，且AB//CD，
∴AG=2AD=4
∴在Rt△PAG中，AN=，
∴Rt△ANH中，

∴平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为
或如图，建立空间直角坐标系O—xyz，

B（1，0，0），
则，
设平面PAD的法向量为
则

可得
又
设平面PBE的法向量为
，
=0
可得，取x=1，


平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为