题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，、分别为、的中点。
（I）求证：平面；
  （Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值。

答案

（1）略
（2）
（3）

解析

证明：（I）连结BD，由已知得BD=2，


在正三角形BCD中，BE=EC，
，又，
        ………… 2分
又平面，
，       …………3分
，
平面PAD。 …………4分
（Ⅱ），
且，    …… 5分
 
…… 8分
（Ⅲ）证法一：如图建立空间直角坐标系，
则由（I）知平面的一个法向量为
，

设平面PBC的法向量为，
由
取得                                   …………11分
                     …………13分
平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为    …………14分
证法二：由（I）知平面平面，
平面平面                                    …………9分
又
平面又平面
平面平面                                    …………10分
就是平面与平面所成二面角的平面角       …………12分
在中，
                                …………14分