题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，，，，， 点，分别在棱上，且，

(I)求证：平面；
(II)当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
(III)是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由．

答案

(I)证明略
(II)
(III)存在，理由略

解析

解：（法1）（Ⅰ）∵，，，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（4分）
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴，∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小.（8分）
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，
这时，故存在点E使得二面角是直二面角.（12分）
（法2）如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，
由已知可得，，，.
（Ⅰ）∵，，∴，
∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（4分）
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴，
∴与平面所成的角的大小。（8分）
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.（12分）