题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在边长为a的正方体中，M、N、P、Q分别为AD、CD、、 的中点．
（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

答案

解：方法1（几何法）：∵平面，∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．设．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴点P到平面MNQ的距离为．……………5分

（2）设点N到平面MNQ的距离为d．可以求得，
∴．．由得
，∴．……………10分
设直线PN与平面MPQ所成的角为，则．故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为．……………12分
方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）是平面MNQ的一个法向量．
∵，
∴点P到平面MNQ的距离．……………5分
（2）设平面MPQ的一个法向量为．．
由得得
．．……………10分
．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则
．……………12分

解析

略