题目

题型：不详难度：来源：

如图，在棱长是1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F，G分别是DD₁，BD，BB₁的中点.

（1）求证：EF⊥CF;
（2）求EF与CG所成的角的余弦值；
（3）求三棱锥G-CEF的体积.

答案

(1)见解析  （2）EF与CG所成角的余弦值是 (3)
V_G-CEF =

解析

因此此几何休为正方体，易建立空间直角坐标系，用空间向量法解决。(1)只需证即可。
（2）用坐标借助公式求EF与CG的所成角的余弦值。
(3)利用三棱锥可换底的特性可其体积。即V_G-CEF=V_C-EFG.
建立如图所示的坐标系，则 ……1分
(1) ,…………2分因为：……3分
所以：即：EF⊥CF……………4分

（2）因为：…………5分
所以：即：EF与CG所成角的余弦值是
(3)CF⊥平面EFG,且CF=,     S_△EFG=…………10分
V_G-CEF=V_C-EFG=