题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
答案
得到CD⊥平面PAB.进一步推出AB⊥平面PBC.
(2)异面直线AP与BC所成的角为60°.
(3)所求二面角的余弦值为.
解析
试题分析:(1)∵PC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上,
∴CD⊥平面PAB.
又∵AB⊂平面PBA,∴AB⊥CD.
又∵CD∩PC=C,∴AB⊥平面PBC.
(2)∵PC⊥平面ABC,
∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角.
于是∠PAC=45°,设AB=BC=1,则PC=AC=,以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),P(1,0,),
=(1,-1,),=(1,0,0),
∵cos〈,〉==,∴异面直线AP与BC所成的角为60°.
(3)取AC的中点E,连接BE,则=(,,0),
∵AB=BC,∴BE⊥AC.又∵平面PCA⊥平面ABC,
∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,得
∴n=(-,0,1).
于是cos〈n,〉===-.
又∵二面角C-PA-B为锐角,∴所求二面角的余弦值为.
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想,将空间问题转化成平面问题。
核心考点
试题【如图所示,在三棱锥PABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上.(1)求证:AB⊥平面PBC;(2)设AB=BC,直线PA与平面AB】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求证:BF⊥平面DAF;
(II)求多面体ABCDFE的体积。
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
A.①是棱台 | B.②是圆台 | C.③是棱锥 | D.④不是棱柱 |
A. B. C. D.
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