题目

题型：不详难度：来源：

已知直角梯形，是边上的中点（如图甲），，，，将沿折到的位置，使,点在上，且（如图乙）

（Ⅰ）求证：平面ABCD.
（Ⅱ）求二面角E−AC−D的余弦值

答案

（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）

解析

试题分析：先证，且，平面ABCD；根据几何法或向量法求出二面角E−AC−D的余弦值.
试题解析：
（Ⅰ）证明：在题图中，由题意可知，
，ABCD为正方形，所以在图中，，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为，且，
所以平面SAB，               （3分）
又平面SAB，所以，且，
所以平面ABCD.                 （6分）
（Ⅱ）解：方法一： 如图，在AD上取一点O，使，连接EO．

因为，所以EO//SA ，                  （7分）
所以平面ABCD，过O作于H，连接EH，
则平面EOH，所以．
所以为二面角E−AC−D的平面角，           （9分）
. 在Rt△AHO中，
.            （11分）
所以二面角E−AC−D的余弦值为．              （12分）
方法二：以A为原点建立空间直角坐标系，如图，


，            （7分）
易知平面ACD的法向量为，
设平面EAC的法向量为，
，                （9分）
由 所以 可取 
所以，                    （11分）
所以，
所以二面角E−AC−D的余弦值为．              （12分）